Memahami Pengertian Logika Matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika ini sangat berhubungan erat dengan logika komputer dan logika filosofis. Tema utama yang terdapat dalam logika matematika diantaranya adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Gimana? udah mulai bingung? he..he.. tenang masih banyak lagi yang bakalan bikin bingung he..he...

Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa. Selanjutnya mari kita pelajari lebih jauh mengenai rumus logika matematika.

1) Pernyataan atau kalimat

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Ada dua jenis pernyataan matematika, yaitu kalimat tertutup dan kalimat terbuka.

Kalimat tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.

Contoh:

a. 5 x 4 = 20 (pernyataan tertutup yang benar)

b. 5 + 4 = 20 (pernyataan tertutup yang salah)

Kalimat terbuka merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.

Contoh:

a : ada daun yang berwarna hijau

b : gula putih rasanya manis

2) Ingkaran pernyataan atau Negasi

Ingkaran atau Negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah "Tidak benar bahwa ...." di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~P.

Contohnya:

Misal pernyataan p : Tembakau yang mengandung Nikotin

Ingkaran pernyataan p adalah ~p : Tidak benar bahwa tembakau mengandung Nikotin.

Tabel kebenaran dari ingkaran ditunjukkan oleh gambar berikut:

Tabel kebenaran ingkaran

3) Pernyataan Majemuk

a. Konjungsi

Apa sih konjungsi itu? Begini nih ... pernyataan p dan q dapat digabungan dengan kata hubung logika "dan" sehingga membentuk pernyataan majemuk "p dan q", nah inilah yang disebut konjungsi. Dalam matematika, konjungsi p dan q dituliskan dengan lambang "p ^ q".

Tabel kebenaran konjungsi ditunjukkan oleh gambar berikut:

Tabel konjungsi

b. Disjungsi

Apabila konjungsi menghubungkan dua pernyataan menggunakan kata hubung logika "dan", maka disjungsi menghubungkan dua pernyataan menggunakan kata hubung logika "atau". Pernyataan p dan q dapat dihubungkan dengan kata hubung logika "atau" sehingga membentuk pernyataan majemuk "p atau q" atau disjungsi. Dalam matematika, disjungsi "p atau q" dituliskan dengan "p v q".

Tabel kebenaran disjungsi ditunjukkan oleh gambar berikut:

Tabel disjungsi

c. Implikasi

Implikasi berisi pernyataan "Jika .... maka .....". Dalam matematika, untuk menuliskan implikasi p dan q dilambangkan dengan "p => q". Adapun tabel kebenaran dari implikasi ditunjukkan oleh gambar berikut:

Tabel implikasi

d. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan berupa "p jika dan hanya jika q". Dalam kalimat matematika, biimplikasi dilambangkan dengan "p <=> q". Tabel kebenaran dari biimplikasi ditunjukkan oleh gambar berikut:

4) Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk

Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk ditunjukkan oleh gambar berikut:

Tabel Ekuivalensi

5) Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi, dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi tersebut. Berikut penjelasannya:

Jika diketahui implikasi p => q, maka:

konversnya adalah q => p

inversnya adalah ~p => ~q

kontraposisinya adalah ~q => ~p

Demikianlah hal-hal yang berkaitan dengan materi logika matematika. Bila ada yang ditanyakan, silahkan isi aja komentar ato boleh via email ya ...